Дело в шляпе
У чиновников была привычка — класть за подкладку шляпы важные документы, чтобы не потерять их.
Вот и считалось, если стряпчий положил прошение в шляпу, значит, оно дойдёт до суда, там его рассмотрят, и дело будет решено. Это был относительно надежный способ избежать ограбления.

Зарубить на носу
Когда зачатки письменности уже были, а бумаги еще не было, чтобы запомнить что-нибудь важное, люди делали зарубки на специальной деревянной дощечке, которую носили с собой. Эта дощечка и называлась «носом».
Так что «заруби себе на носу» означало всего лишь «сделай заметку в своей записной книжке».

Ежу понятно
В советских интернатах для одаренных детей набирали подростков, которым осталось учиться два года (классы А, Б, В, Г, Д) или один год (классы Е, Ж, И).
Учеников одногодичного потока так и называли — «ежи». Когда они приходили в интернат, «двухгодичники» уже опережали их по нестандартной программе, поэтому в начале учебного года выражение «ежу понятно» было очень актуально.

Затрапезный вид
«Затрапезной» называли одежду церковных служек, которую они носили «за трапезой», то есть одежду простую, а не нарядную, которую надевали для службы.

В ногах правды нет
Теперь это безобидное приглашение сесть, но раньше выражение имело даже жестокий смысл.
В древности на Руси должников жестоко наказывали, били железными прутьями по голым ногам, добиваясь возврата долга, т. е. «правды», однако такое наказание не могло заставить вернуть долг тех, у кого не было денег. Это называлось «правеж».
По другой версии считалось, что помещик, обнаружив пропажу чего-либо, собирал крестьян и заставлял их стоять, пока не назовут виновного.

Втирать очки
Никакого отношения к очкам, которые носят люди, это выражение не имеет. В XIX веке шулеры-картёжники прибегали к хитрости: во время игры при помощи особого клейкого состава они наносили на карты порошком дополнительные очки (красные или чёрные знаки), а при необходимости могли стереть эти очки.
Отсюда и происходит выражение «втирать очки», означающее «представлять что-то в выгодном свете» или просто «обманывать».

Семь пятниц на неделе
Когда-то пятница была свободным от работы и базарным днём. Поэтому в этот день принято было исполнять разные торговые обязательства. В пятницу, получая деньги, давали честное слово привезти на следующий базарный день заказанный товар. В пятницу, получая товар, обещали на следующей неделе отдать за него деньги.
Именно тогда так стали говорить о человеке, который из раза в раз нарушает свое обещание.

За душой ничего нет
«Душой» называли углубление между ключицами, ямочку на шее над грудной костью, где, по народным поверьям, помещалась душа человека. В этом же месте на груди (за душой) носили кошельки.

Уйти с носом, остаться с носом
Дело в том, что слово «нос» в этом выражении означает вовсе не часть лица. Это существительное, образованное от глагола «нести».
По одной из версий, здесь имеется в виду тот нос, который жених по древнему обычаю подносил родителям невесты (т.е. «подарок», «выкуп»). Если жениху отказывали и подарок отвергали, то жених оставался «с носом».
По другой версии, слово нос употребляется здесь в значении «подношение», «взятка». В таком случае остаться с носом значило «уйти с непринятым подношением; уйти, не договорившись».

Большая шишка
Выражение восходит к речи бурлаков, в которой «шишкой» называли самого опытного и сильного бурлака, идущего в лямке первым. Теперь «большая шишка» или «важная шишка» — это влиятельный человек.

С лёгким паром!
В русских банях самое жаркое место было почти под самым потолком, где находился помост, на котором парились. Пар поднимался от раскаленных камней, политых водой. Шедшему в баню желали легкого пару, т. е. такого пару, который быстро поднимается от раскаленных камней вверх.
Значение связано с другой версией: в банях пар мог смешиваться с угарным газом, от которого люди нередко угорали. Этот пар, в отличие от легкого, хорошего пара, называли тяжелым. Поэтому желали легкого пару.

Положить зубы на полку
Это выражение связано скорее не с вставными зубами, а с инструментами.
Если работа есть, то и кусок хлеба у вас всегда на столе будет. Если же работы нет, то клади зубы на полку и ходи голодным.

Бабье лето
Происхождение связано с тем периодом в жизни крестьян, когда заканчивались полевые работы, и женщины принимались за домашние дела: мочили лен, трепали его, ткали.

В печёнках сидеть
На Руси считали печень вместилищем жизненной силы. То есть «сидеть в печёнках» — значило отравлять жизнь, мешать жизни.

Показать, где раки зимуют
Многие помещики любили полакомиться свежими раками, а зимой их ловить очень трудно: раки прячутся под коряги, выкапывают норы в берегах озерка или реки и там зимуют.
Поэтому зимой ловить раков посылали провинившихся крестьян, которые должны были доставать их из ледяной воды — отсюда и пошла эта угроза.

Седьмая вода на киселе
Так говорят о человеке, который приходися вам настолько дальним родственником, что даже непонятно, а родственник ли он.
Если кисель долго стоит, то он теряет свои вкусовые качества, и на нем появляется слой воды. Седьмая вода — вода, появившаяся на долго стоявшем киселе, отчего ее вкус ничего общего с киселем уже не имеет. Числительное «семь» употреблено здесь чисто символически, как и в других русских пословицах и поговорках. Иногда используют вариант «десятая вода на киселе».